$\texttt{\textbackslash physfor}$

Физика для всех

Сайт по физике с полезными и интересными материалами для обучения. От основ до задач Капицы и векторных физических иллюстраций.

Вы можете записаться на занятия по физике к автору сайта (Школа, ОГЭ, ЕГЭ и прочее). Кравченко Игорь Игоревич — репетитор с опытом более 10 лет в подготовке школьников и развитии у них интереса к этой науке. Тел. 8 901 014 49 10.

Справочник

Здесь выложены три части «Физики для всех» — электронного иллюстрированного справочника по физике (авторы И. И. Кравченко и И. Н. Кравченко).

К ним прилагается исходный код $\LaTeX$. (Папки и файлы, среди которых main.tex, — это то, что нужно компилятору.)

Также есть разбивка по листкам.

Дополнительное:

Задачи Капицы

Тут можно глянуть быстрые «решения» задач Капицы Петра Леонидовича, оформленные в виде заметок. Эти задачи публиковались, например, в сборнике «Физические задачи» [tex] 1966 г.

Два из этих «решений» вошли в статьи журналов «Квант» №11‑12 за 2024 г. и «Потенциал» №6 за 2024 г.

Галерея

В этом разделе представлены рисунки, выполненные на языке $Asymptote$. Рисунки интерактивные — прямо на сайте их можно вращать мышью, а также увеличивать или уменьшать. К каждому рисунку прикреплена ссылка на файл с кодом. Компилировать код в изображение можно в web-редакторе Asymptote.

Задачи Савченко

Выкладываю ниже «набросанные» решения некоторых интересных задач из сборника «Задачи по физике» под редакцией Савченко Оливера Яковлевича (2008 г.).

Тепло в соленоиде

$11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние оказывается, что только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$.

При включении $RL$-участка на постоянное напряжение начинается переходный про­цесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно [1]. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде:

$$W=R\int i^2dt.\tag{1}$$

Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи:

$$iR+L\frac{di}{dt}=U.$$

Можно показать [2], что с учетом начальных условий данному дифференциальному уравнению удовлетворяет зависимость:

$$i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\textstyle\frac{t}{\tau}}\right),$$

где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое переменная составляющая тока $i$ меняется в $e$ раз).

С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл:

$$W=\frac{U^2}{R}\left(t+2\tau e^{-\textstyle\frac{t}{\tau}}-\frac{\tau}{2}e^{-2\textstyle\frac{t}{\tau}}\right)+C.$$

Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $t=0$, то и $W=0$; то есть $C=-\dfrac{U^2}{R}\cdot\dfrac{3}{2}\tau$.

Предыдущую формулу рассмотрим в приближении $t\gg\tau$:

$$W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2}$$

Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока $i$, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии:

$$U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\textstyle\frac{t}{\tau}}\right)}.$$

Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Тогда разложим величину $e^{-\textstyle\frac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [3]: $e^{-\textstyle\frac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что:

$$U\approx\frac{IR\tau}{t}.$$

Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию:

$$W\approx\frac{L^2I^2}{Rt}.$$

Примечание: в задачнике 1981 года есть пункт про включение этого соленоида на переменное напряжение через диод, при этом задача не отмечена «звездой».

Литература

[1] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003.

[2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, №8.

[3] Голубов Б. Что такое ряд Тейлора? «Квант», 1979, №5.

Взрыв сферы

$7.4.29.$ Сфера массы $m$, имеющая заряд $q$, в результате взрыва распадается на большое число одинаковых осколков, скорость которых в момент взрыва равна $v$ и направлена вдоль радиуса сферы. Определите максимальную скорость осколков.

Из сферической симметрии ясно, что в процессе разлета на каждый данный осколок будет действовать одинаковая радиальная кулоновская сила $F_0$ со стороны остальных осколков:

$$F_0=E_\text{ост}q_0,$$

где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля, созданного остальными осколками по отношению к рассматриваемому осколку, в точке нахождения этого рассматриваемого осколка.

Если разлет будем представлять как расширение утончающейся заряженной сферы, то для напряженности $E_\text{ост}$ можно записать:

$$E_\text{ост}=\frac{E_\text{сф}}{2},\tag{1}$$

где $E_\text{сф}$ есть напряженность у наружней поверхности текущей сферы.

Равенство $(1)$ объясняют следующим образом. Пусть имеется заряженная сферическая оболочка из тонкого металла; выберем на ее наружней поверхности малый участок площади $\Delta S$ с зарядом $q_0$. Вблизи участка $\Delta S$ снаружи сферической оболочки поле обозначим через $E_\text{сф}$. Вблизи участка $\Delta S$ внутри сферической оболочки поле равно нулю (оболочка металлическая). Пусть участок с зарядом $q_0$ достаточно близок к рассмотренным точкам, так что этот участок будем считать плоским; значит, он подобно пластине создает одинаковые напряженности по обе стороны от него. Можно говорить, что суммарное поле снаружи оболочки создается полями заряда $q_0$ и заряда $q_\text{ост}$ остальных участков сферы по отношению к $\Delta S$, то есть $E_\text{сф}=E_0+E_\text{ост}$ (где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля от заряда $q_\text{ост}$). В самой же оболочке у участка $\Delta S$ суммарное поле равно нулю, так что поля зарядов $q_0$ и $q_\text{ост}$ должны компенсировать друг друга: $E_0=E_\text{ост}$. Подставляя это уравнение в предыдущее и немного преобразовывая, получаем уже формулу $(1)$; см. об этом в статье [1].

Сила Кулона на данный осколок с учетом сказанного равна:

$$F_0=\frac{E_\text{сф}}{2}q_0,$$

или, с учетом $E_\text{сф}=\dfrac{kq}{r^2}$ (где $r$ есть радиус текущей сферы):

$$F_0=\frac{kq}{2r^2}q_0.$$

Разгон осколка будет продолжать до тех пор, пока сфера не станет практически бесконечной. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

$$A_0=\frac{m_0v_\text{max}^2}{2}-\frac{m_0v^2}{2},\tag{2}$$

где $A_0$ есть работа силы $F_0$ при удалении осколка очень далеко от центра начальной сферы.

Найдем работу $A_0$ интегрированием в пределах от начального радиуса $R$ сферы до бесконечности:

$$A_0=\int\limits_R^\infty F_0(r)\, dr=\frac{kqq_0}{2}\int\limits_R^\infty\frac{1}{r^2}\, dr=\left.-\frac{kqq_0}{2r}\right|_R^\infty=\frac{kqq_0}{2R}.$$

Подстановка этого результата теперь в формулу $(2)$ с учетом $q_0=q/N$ и $m_0=m/N$ (где $N$ есть число осколков) после преобразований дает искомую максимальную скорость:

$$v_\text{max}=\sqrt{v^2+\frac{kq^2}{mR}}.$$

Это можно переписать иначе. Поскольку $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, то

$$v_\text{max}=v\sqrt{1+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0mRv^2}}.$$

Примечание: радиус $R$ в условии задачи не задан.

Литература

[1] С. А. Юрский. Проводящая сфера в задачах по электростатике. «Квант», 1983, №3.

«Сверхвращение»

$11.5.28^*.$ Если длинный идеально проводящий тонкостенный цилиндр раскрутить вокруг своей оси, то внутри цилиндра возникает магнитное поле. Найдите его индукцию, если угловая скорость цилиндра $\omega$.

Проведем рассуждения для произвольного контура, проходящего внутри стенки цилиндра перепендикулярно его оси (вдали от торцов цилиндра). По закону электромагнитной индукции

$$\mathscr E_i=-\frac{d\Phi}{dt},\tag{1}$$

где $\mathscr E_i$ есть ЭДС индукции вихревого электрического поля, создаваемого изменением полного(!) магнитного потока $\Phi$ через контур.

Для нашего контура с учетом длинности цилиндра имеем

$$d\Phi=S\, dB,\tag{2}$$

где $S$ есть площадь охвата контура, $B$ есть индукция магнитного поля в цилиндре (магнитное поле внутри цилиндра однородное).

ЭДС $\mathscr E_i$ будет разгонять электроны в стенках цилиндра [1]:

$$\mathscr E_i=E_i\cdot2\pi r=\frac{F_i}{e}\cdot2\pi r=\frac{m_e\, dv}{e\, dt}\cdot2\pi r;$$

здесь $E_i$ есть напряженность индуцированного электрического поля в стенке цилиндра, $r$ есть радиус цилиндра, $F_i$ есть сила, действующая на электрон со стороны поля $E_i$.

Будем считать, что за приращение времени $dt$ электроны получают прирост скорости $dv=r\, d\omega$. То есть электроны не отстают от вращения положительных ионов.

Тогда

$$\mathscr E_i=\frac{m_er\, d\omega}{e\, dt}\cdot2\pi r.\tag{3}$$

Подставляем $(3)$ и $(2)$ в $(1)$ и после сокращений получаем:

$$\frac{2m_e}{e}d\omega=-dB.$$

Интегрируем это и получаем:

$$\frac{2m_e}{e}\omega=-B+C.$$

Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $\omega=0$, то и $B=0$; то есть $C=0$.

Итак, с точностью до знака

$$B=\frac{2m_e}{e}\omega.$$

Выводы этой формулы приводятся, например, в статье [2].

Литература

[1] С. Гордюнин. «Идеальные проводники и кинетическая индуктивность». В: Квант 4 (1996), с. 40—41.

[2] Hirsch J. E. The London moment: what a rotating superconductor reveals about superconductivity //Physica Scripta. – 2013. – Т. 89. – №. 1. – С. 015806.